7.3. Оцінка щільності та перевірка
істотності кореляційного зв’язку

Поряд із визначенням характеру зв’язку та ефектів впливу факторів х на результат у важливе значення має оцінка щільності зв’язку, тобто оцінка узгодженості варіації взаємозв’язаних ознак. Якщо вплив факторної ознаки х на результативну у значний, це виявиться в закономірній зміні значень у зі зміною значень х , тобто фактор х своїм впливом формує варіацію у . За відсутності зв’язку варіація у не залежить від варіації х .

Для оцінювання щільності зв’язку статистика використовує низку коефіцієнтів з такими спільними властивостями:

• за відсутності будь-якого зв’язку значення коефіцієнта наближається до нуля; при функціональному зв’язку — до одиниці;
• за наявності кореляційного зв’язку коефіцієнт виражається дробом, який за абсолютною величиною тим більший, чим щільніший зв’язок.

Серед мір щільності зв’язку найпоширенішим є коефі-
цієнт кореляції Пірсона. Позначається цей коефіцієнт сим-
волом r . Оскільки сфера його використання обмежується лінійною залежністю, то і в назві фігурує слово «лінійний». Обчислення лінійного коефіцієнта кореляції r ґрунтується
на відхиленнях значень взаємозв’язаних ознак x і у від се-
редніх.

За наявності прямого кореляційного зв’язку будь-якому значенню х _і > відповідає значення , а  відповідає . Узгодженість варіації х і у схематично показано на рис. 7.2 у вигляді кореляційного поля зі зміщеною системою координат.

Рис. 7.2. Узгодженість варіації взаємозв’язаних ознак

Точка, координатами якої є середні  і , поділяє кореляційне поле на чотири квадранти, в яких по-різному поєднуються знаки відхилень від середніх:

Для точок, розміщених у І та ІІІ квадрантах, добуток  додатний, а для точок з квадрантів ІІ і ІV — від’ємний. Чим щільніший зв’язок між ознаками х і у , тим більша алгебраїчна сума добутків відхилень . Гранична сума цих добутків дорівнює .

Коефіцієнт кореляції визначається відношенням зазначе-
них сум:

.

Очевидно, що в разі функціонального зв’язку фактична сума відхилень дорівнює граничній, а коефіцієнт кореляції r = ±1; при кореляційному зв’язку абсолютне його значення буде тим більшим, чим щільніший зв’язок.

На практиці застосовують різні модифікації наведеної формули коефіцієнта кореляції. Для оцінювання щільності зв’язку між кількістю внесених добрив та врожайністю зернових скористаємося однією з модифікацій зазначеної формули:

.

За даними табл. 7.3

Згідно з цими значеннями коефіцієнт кореляції становить 0,900, що свідчить про вагомий вплив кількості внесених добрив на врожайність зернових:

.

Коефіцієнт кореляції, оцінюючи щільність зв’язку, указує також на його напрям: коли зв’язок прямий, r — величина додатна, а коли він зворотний — від’ємна. Знаки коефіцієнтів кореляції і регресії однакові, величини їх взаємозв’язані функціонально:

;         .

Завдяки цьому один коефіцієнт можна обчислити, знаючи інший. Наприклад:

.

Вимірювання щільності нелінійного зв’язку ґрунтується на співвідношенніваріацій теоретичних та емпіричних (фактичних) значень результативної ознаки у . Як зазначалося в підрозд. 5.6, відхилення індивідуального значення ознаки у від середньої можна розкласти на дві складові. У регресійному аналізі це відхилення від лінії регресії ( у – Y) та відхилення лінії регресії від середньої .

Відхилення  є наслідком дії фактора х , відхилення  — наслідком дії інших факторів. Взаємозв’язок факторної та залишкової варіацій описується правилом декомпозиції варіації:

,

де  — загальна дисперсія ознаки y ;  — факторна дисперсія;  — залишкова дисперсія.

Очевидно, значення факторної дисперсії  буде тим більшим, чим сильніший вплив фактора х на y . Відношення факторної дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв’язку і називається коефіцієнтом детермінації :

.

Якщо за даними табл. 7.3 , , то .

Аналогічний результат дають такі обчислення:

.

Коефіцієнт детермінації становить ,

тобто 81% варіації врожайності зернових залежить від варіації кількості внесених добрив, а 19% припадає на інші фактори.

Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації називають індексом кореляції R. Коли зв’язок лінійний, , що підтверджують обчислення:  Тому за відомим лінійним коефіцієнтом кореляції r можна визначати внесок ознаки x у варіацію ознаки y . Так, при r = 0,6 можна сказати, що 36% варіації y залежить від варіації x .

На таких самих засадах ґрунтується оцінювання щільності зв’язку за даними аналітичного групування. Мірою щільності зв’язку є кореляційне відношення

,

де d ² — міжгрупова дисперсія, яка вимірює варіацію ознаки у під впливом фактора х , а s ² — загальна дисперсія.

Застосуємо кореляційне відношення для оцінювання щільності зв’язку між глибиною розробки вугільних пластів і фондомісткістю видобутку вугілля (див. табл. 7.2). Розрахунки загальної та факторної дисперсій подано в табл. 7.4 та 7.5. Згідно з розрахунками загальна дисперсія становить 5,19, факторна — 3,86:

;

.

Кореляційне відношення

,

тобто 74,5% варіації фондомісткості вугілля на шахтах регіону пояснюється варіацією глибини розробки пластів.

Таблиця 7.4

ДО РОЗРАХУНКУ ЗАГАЛЬНОЇ ДИСПЕРСІЇ
ФОНДОМІСТКОСТІ ВУГІЛЛЯ ()

Таблиця 7.5

ДО РОЗРАХУНКУ ФАКТОРНОЇ ДИСПЕРСІЇ
ФОНДОМІСТКОСТІ ВУГІЛЛЯ ()

Обчислення та інтерпретація коефіцієнта детермінації R ² і кореляційного відношення h ² показують: ці характеристики щільності зв’язку за змістом ідентичні, вони характеризують внесок фактора x у загальну варіацію результату y .

Перевірка істотності кореляційного зв’язку ґрунтується на порівнянні фактичних значень R ² і h ² з критичними, які могли б виникнути за відсутності зв’язку. Якщо фактичне значення  чи h ² перевищує критичне, то зв’язок між ознаками не випадковий. Гіпотеза, що перевіряється, формулюється як нульова:

або  .

Критичні значення характеристик щільності зв’язку для рівня істотності a = 0,05 і відповідного числа ступенів свободи для факторної дисперсії k ₁ і залишкової k ₂ наведено в табл. 7.6. Ступені свободи залежать від обсягу сукупності n та числа груп або параметрів функції m , тобто k ₁ = m – 1, k ₂ = n – m .

Таблиця 7.6

КРИТИЧНІ ЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ДЕТЕРМІНАЦІЇ R ²
І КОРЕЛЯЦІЙНОГО ВІДНОШЕННЯ h ² ДЛЯ РІВНЯ ІСТОТНОСТІ a = 0,05

Так, критичне значення коефіцієнта детермінації для k ₁ = 2 – 1 = 1 і k ₂ = 8 – 2 = 6 становить . Обчислений за даними табл. 7.3 коефіцієнт детермінації R ² = 0,81 перевищує критичне значення, що з імовірністю 0,95 підтверджує істотність зв’язку між кількістю внесених добрив і врожайністю зернових.

Аналогічно визначимо критичне значення кореляційного відношення для k ₁ = 4 – 1 = 3 та k ₂ = 100 – 4 = 96. Оскільки значення k ₂ = 96 у табл. 7.6 відсутнє, можна використати найближче до нього число k ₂ = 100. Критичне значення .

Розраховане за даними табл. 7.2 кореляційне відношення h ² = 0,745 значно перевищує критичне, а отже, гіпотеза про випадковий характер відхилень групових середніх відхиляється. Зв’язок між глибиною розробки вугільних пластів і фондомісткістю видобутку вугілля з імовірністю 0,95 визнається істотним.

Розглянута процедура перевірки істотності зв’язку є складовою дисперсійного аналізу, розробленого Р. Фішером. Характеристика критерію Фішера — дисперсійне відношення F — функціонально пов’язана з кореляційним відношенням , а тому результати перевірки будуть ідентичні.